고윳값과 고유 벡터 계산, 성질

 1. 2x2 행렬의 고윳값과 고유 벡터 구하기

  위 식은 동차 선형 시스템이라고 볼 수 있다. 위 식에서 고윳값 람다가 존재하기 위한 필요충분조건은 괄호 안의 행렬식이 0이 되는 것이다.

 위와 같은 식을 특성 방정식이라고 한다.

 

 <고윳값 구하기 예제>

 다음은 이렇게 구한 고윳값을 이용해 고유 벡터를 구해 보겠다. 두 가지 경우를 나누어서 구한다.

 

 이런 식으로 구하면 람다가 -1일때도 구할수 있다.

 

 2. 3x3 행렬의 고윳값과 고유 벡터 구하기

 람다가 3인 경우만 고유 벡터를 구해 보자.

 따라서, 앞서 구한 A-3I를 이용하면 동차 선형 시스템은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 위 동차 선형 시스템을 풀기 위해 가우스 행렬로 정리해 보겠다.

 고유 벡터의 길이가 1이 되게끔 정규화 하면 고유 벡터는 다음과 같다.

 

 3. 성질

 (1)

(2) 정사각 행렬 A가 가역 행렬이기 위한 필요충분조건은 행렬 A의 고윳값이 0이 아닌 것이다.

(3) 고유 벡터는 유일하지 않다.