고윳값과 고유 벡터의 개념

 고윳값은 영어로 eigenvalue라고 하는데 이때, 쓰이는 단어인 eigen은 특성이라는 뜻을 담고 있다. 즉, 고윳값, 고유 벡터는 특성값, 특성 벡터라고 생각할 수 있고, 이들은 행렬의 특성을 나타낸다. 

 

 벡터는 방향과 크기로 구성되는데, 고윳값, 고유 벡터에서 말하는 특성이란 벡터의 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 특성을 의미한다. 즉, 고유 벡터(eigenvector)란 벡터에 선형 변환했을 때, 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터를 의미한다. 또한 선형 변환 이후 변환 크기를 고윳값이라고 한다. 고윳값과 고유 벡터를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 위 수식에서 좌변은 벡터 x에 선형 변환 A를 취한 것을 의미한다. 이는 우변과 동일한데 우변은 기존 벡터 x의 방향은 변하지 않고 길이가 람다 만큼 변했다는 것을 의미한다. 따라서, 위 수식에서 람다 값이 클수록 기존 벡터 x의 길이가 길어짐을 의미한다.

고윳값의 크기

 고윳값의 부호를 보면 고유 벡터의 방향을 알 수 있고, 고윳값의 크기를 보면 고유 벡터의 길이를 알 수 있다.