내적의 개념

 1. 내적 공간

 내적 공간은 벡터 공간 개념에서 확장되는 개념이다. 벡터 공간 S에서 다음 공리를 만족하는 벡터 공간을 내적 공간(inner product space)라고 한다.

 

 2. 내적의 정의

 내적은 특이하게도 벡터와 벡터의 연산 결과값으로 스칼라가 나온다.

 

 3. 내적의 성질

 내적을 사용하면 벡터의 길이(norm)를 구하거나 벡터 사이의 관계를 파악할 수 있다.

 내적을 이용하면 두 벡터 사이의 각도도 추정할 수 있다.

 벡터의 길이를 구할 수 있다. 벡터의 길이(length)는 노름(norm)이라고도 한다. 벡터 u의 길이는 다음과 같이 자기 자신의 내적 값의 제곱근을 계산함으로써 구할 수 있다.

 예를들어, 벡터 u=(u1,u2)라고 하면 벡터의 길이는 아래 왼쪽 그림과 같다.

 만약 벡터의 길이와 x축과의 각도를 알 수 있다면, 벡터의 구성 원소를 위에 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있다.

 

 4. 정사영

 정사영(projection)이란 한 벡터 공간에 속한 벡터를 부분 공간으로 수직으로 투영하는 것을 말한다. 아래 그림은 2차원 공간에 속한 벡터 u를 부분 공간인 벡터 v에 정사영한 벡터를 확인할 수 있다.

 

 내적은 좌표계의 선택과 무관하다. 이는 특정 좌표계에서만 내적을 할 수 있는 것이 아니라, 좌표계의 종류와 상관없이 내적 값을 항상 구할 수 있다는 의미이다.

 

 내적은 좌표계의 선택과 무관하므로 내적을 생각하는 한 가지 방법은 아래 그림의 왼쪽 그림 처럼 벡터 v를 x축이라고 생각하고 u를 v에 정사영시키는 것이다. 이를 <u,v>라고 표기한다.

 위 그림과 같이 벡터 u를 벡터 v에 정사영시킨 벡터의 길이는||u||cos@임을 알 수 있다.

 정사영 개념을 이용해 내적 개념을 다시 쓰면 다음과 같다. 벡터 u와 벡터 v의 내적이란 벡터 u를 벡터 v에 정사영시킨 벡터의 길이, 즉 ||u||cos@ 와 기존 벡터 v의 길이인 ||v||의 곱과 같다.