기저, 차원

1. 기저의 정의

 기저(basis)는 벡터 공간을 생성하는 선형 독립인 벡터들이다. 이는 기저의 조합으로 공간을 생성할 수 있다는 의미이다.

 2차원 평면에 존재하는 모든 점은 두 기저 벡터 (1 0), (0 1)로 표현할 수 있다.

 (2 1)이라는 좌표는 위와 같이 두 기저 벡터의 선형 조합으로 표현할 수 있다. 그리고 두 기저 벡터로 span할 수 있는 벡터 공간은 2차원 평면이다. 반면 위 그림의 오른쪽 그림에 존재하는 두 벡터(1 0),(2 0)은 2차원 평면의 기저가 될 수 없다. 왜냐하면 벡터는 2개이지만 서로 선형 독립이 아니기 때문이다.

  (2 0), (0 1)도 기저 벡터가 될 수 있다. (x 0) (0 y)형태라면 모두 2차원 공간의 기저 벡터가 될 수 있다.

 

 2. 기저와 벡터 공간

 벡터 공간 S의 임의의 기저를{s1,s2,...,sn}이라고 했을 때, 벡터 공간은 다음과 같은 성질을 만족한다.

3. 차원

 n차원 공간을 나타내는 데에는 기저 n개가 필요하다. 차원(dimension)이란 해당 공간을 구성하는 기저 벡터의 개수이다.