행 공간, 열 공간, 영 공간, 랭크, 널리티

1. 행 공간, 열 공간, 영 공간의 개념

 행렬 A가 다음과 같은 n x p 크기의 행렬이라고 하자.

앞서 배운 벡터 공간의 정의를 응용하면 행 벡터로 span할 수 있는 공간을 행 공간(row spaces)라고 부르고, 열 벡터로 span 할 수 있는 공간을 열 공간(column spaces)라고 부른다.

 

 한편 Ax=0을 만족하는 해 공간을 영 공간(null space)라고 한다. 행렬 A의 영 공간이란 행렬 A가 주어질 때 Ax=0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합이라고 할 수 있다.

 

 차원 이란 기저 벡터의 개수를 의미한다. 즉, 벡터 공간을 구성하는 데에 필요한 최소한의 벡터 개수가 차원이다. 행 공간의 차원과 열 공간의 차원은 같다.

 행렬 A의 의미는 행 공간에 존재하는 벡터 x를 행렬 A의 열 공간에 있는 벡터 b로 선형 변환하는 것이다. 이 경우, 행렬 A의 영 공간의 차원은 n-r이고, 행렬 At의 영 공간의 차원은 m-r이 된다.

 

 2. 행 공간, 열 공간, 영 공간의 성질

 a. 영 공간은 동차 선형 시스템 Ax=0을 만족하는 해 공간을 의미한다. 또한 첨가 행렬을 이용해 기본 행 연산을 했을 때 Ax=0의 해 집합은 변하지 않았다. 따라서 행렬 A의 영 공간은 변하지 않는다는 것을 알 수 있다.

 

 b. 행렬 A의 1행과 2행을 바꾼 기본 행 연산을 수행한 후의 행렬을 B행렬이라고 하자. 이때 행렬 A에 속하는 모든 행은 행렬 B에도 속하는 것을 알 수 있다. 따라서, A와 B의 행 공간은 동일하다.

 

 c. 행렬 A를 가우스 행렬로 변경했다고 생각해보자. 이때 가우스 행렬의 행 공간의 차원은 0이 아닌 행의 개수이고, 가우스 행렬의 열 공간의 차원은 1이 가장 먼저 나타나는 행의 개수를 의미한다. 따라서, 행 공간의 차원과 열 공간의 차원은 동일하다는 것을 알 수 있다.

 

3. 랭크와 널리티 개념

 행렬 A의 행 공간과 열 공간의 공통 차원을 행렬 A의 랭크(rank)라고 부른다. 만약 행렬의 랭크가 해당 행렬이 가질 수 있는 랭크 중 최대치일 때 해당 행렬을 풀 랭크(full rank) 행렬이라고 부른다.

 

 한편, 행렬 A의 영 공간의 차원을 행렬 A의 널리티(nullity)라고 부른다. 행렬 A의 널리티는 nullity(A)라고 표기한다.

 

 4. 랭크와 널리티의 성질