직교 공간과 정규 직교 공간

 1. 직교공간 

 벡터 공간에 존재하는 모든 벡터가 서로 직교하면 해당 벡터 공간은 직교(orthogonal)하다고 말한다. 이때, 각 벡터의 길이가 1이면 정규 직교(orthonormal)하다고 말한다.

 

 벡터 공간 S={u1,u2,u3}를 구성하는 벡터 u1,u2,u3가 다음과 같다면 벡터 공간 S는 직교한다.

 위 식을 보면 벡터 공간 S에 속하는 모든 벡터 간 내적 값이 0인 것을 알 수 있다. 따라서, 벡터 공간 S에 속하는 모든 벡터는 서로 직교한다.

 

 2. 정규 직교 공간

 직교 공간에 존재하는 직교 벡터의 길이가 모두 1인경우, 해당 벡터를 정규 직교 벡터라고 하며, 정규 직교 벡터가 만드는 공간을 정규 직교 공간 이라고 한다.

 직교 벡터를 정규 직교 벡터로 변환하면 벡터의 길이가 1이 되므로 수식을 통한 계산이 좀더 편해 진다는 장점이 있다.

 

 직교 벡터를 정규 직교 벡터로 바꾸기 위해 해당 벡터의 길이(norm)으로 나누면 된다. 이와 같은 과정을 정규화 한다고 한다.

 

 3. 정규 직교 벡터를 활용한 좌표 표현

 벡터 공간 v의 정규 직교 기저를 S={v1,v2,...,vn}이라고 할 때, 벡터 공간 v에 포함되는 임의의 벡터 a는 다음과 같이 표현할수 있다.

 위 식에서 정규 직교 벡터에 해당하는 v1,v2,...,vn은 좌표 축이라고 볼 수 있고 <a,vi>는 벡터 a의 i번째 축의 좌표라고 볼 수 있다. 그리고 벡터 집합 S={v1,v2,...,vn}은 정규 기저 벡터의 집합이므로 위 식을 변형하면 임의의 벡터 a는 정규 기저 벡터의 조합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

따라서, 위의 두 식을 조합하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 위 식이 만족하려면 <a,vi>=ci 임을 보여주어야한다. 이때, c1,c2,ci는 벡터 v1,v2,vn을 기저라고 했을 때의 좌표라고 생각할 수 있다.

 따라서, 임의의 벡터 a는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 4. 직교 벡터를 활용한 좌표 표현

 벡터 공간 내 U={u1,u2,..,un}이 지굑 기저라면 임의의 벡터 a는 다음과 같이 표현할 수 있다.