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-벡터 공간의 개념- 벡터 공간(vector space)은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱이 정의된 공간을 의미한다. 벡터 공간은 다른 말로 선형 공간(linear space)라고도 부른다. 그러나 벡터 공간에서는 서로 다른 벡터가 서로 다른 길이, 방향을 가질 때 이를 비교할 수 있는 방법이 없다. 길이, 각도와 같은 것이 정의되어 있는 곳은 내적 공간(inner product space)라고 부른다. 흔히 어떤 공간의 좌표 축의 기본 벡터를 유닛 벡터(unit vector)라고 한다. 벡터 공간의 일부분을 부분 공간(subspace)라고 한다. 전체 집합과 부분 집합의 관계라고 생각하면 된다. 이런 관계를 설명하는 데에 사용되는 스팬(span)이라는 개념이 있다. 예를 들어, 전체 벡터 공간 V가 3차원이고..

1. 역행렬의 거듭 제곱 2. 역행렬과 전치 행렬 3. 거듭 제곱 행렬의 역행렬 4. 역행렬과 행렬식 넘파이를 이용해 역행렬 구하기 import numpy as np A=np.array([[3,2,0],[-1,-3,6],[2,3,-5]]) invA=np.linalg.inv(A) print(A) print('-------------------') print(invA) ''' [[ 3 2 0] [-1 -3 6] [ 2 3 -5]] ------------------- [[-0.6 2. 2.4] [ 1.4 -3. -3.6] [ 0.6 -1. -1.4]] '''

1. 역행렬의 개념 행렬 A의 역행렬이란 AB=I를 만족하는 행렬 B를 의미한다. 역행렬은 구하고자 하는 행렬의 행렬식이 0일때, 역행렬은 존재하지 않는다. 어떤 행렬의 역행렬이 존재하는 경우 해당 행렬을 가역 행렬(invertible matrix)이라고 부르며 가역 행렬의 역행렬은 유일하다. 행렬 A의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬 A를 특이 행렬(singular matrix)라고 한다. 2. 역행렬 계산 1) 2x2 행렬의 역행렬 구하기 행렬 A,B가 크기가 같고, 두 행렬 모두 가역 행렬이면 두 행렬의 행렬 곱 AB또한 가역이며 다음과 같은 성질을 따른다. 2) nxn 행렬의 역행렬 구하기 여인수를 이용하면 행렬 A의 역행렬을 구할 때 사용하는 여인수 행렬을 구할 수 있는데 행렬 A의 여인수로 구성..

1. 삼각 행렬식의 성질 삼각행렬 A의 행렬식은 주 대각 원소의 곱과 같다. 2. 대각 행렬의 행렬식 대각 행렬 A의 행렬식은 삼각 행렬과 마찬가지로 주 대각 원소를 모두 곱한 값과 같다. 단위행렬의 행렬식은 1이다. 3. 전치 행렬의 행렬식 4. 특정 행과 열의 원소가 모두 0일때 행렬식 행렬 A가 정사각 행렬일 때, 행렬 A에 0으로 구성된 행 또는 열이 존재하면 행렬 A의 행렬식은 0이다. 왜냐하면 모든 원소가 0인 행 또는 열을 기준으로 여인수를 구하면 모두 0이기 때문이다. 예를 들어, 위와 같은 행렬 A가 존재할 때 행렬 A의 3열의 원소는 모두 0임을 알 수 있다. 따라서, 행렬 A의 3열을 기준으로 여인수와 행렬식을 구하면 다음과 같다. 5. 행렬의 기본 행 연산과 행렬식 이전에 행렬의 기..

행렬식(determinant)은 행렬의 특성을 하나의 숫자로 표현하는 방법 중 하나이다. 위 그림은 행렬식의 개념을 나타내는 그림이다. 3행 3열 크기의 임의의 행렬 A가 존재할 때 각 행은 하나의 벡터로 표한할 수 있다. 행렬 A의 행렬식을 구한다는 말은 오른쪽 그림과 같이 세 개의 벡터로 구성되는 육면체의 부피를 구한다는 것과 같다. 2x2 행렬의 행렬식 2x2 행렬의 행렬식은 넓이의 개념으로 생각할 수 있다. 3x3 행렬의 행렬식 소행렬식 M11을 구하면 행렬 원소 a11에 대한 여인수 C11도 쉽게 구할 수 있다. 소행렬식과 여인수의 차이는 부호의 차이가 있다. 행렬식을 구할 때는 여인수의 부호를 혼동하지 않도록 주의해야 하는데 행렬 원소 a11의 여인수의 부호는 다음과 같은 지그재그 패턴을 따른다.

이번에는 선형 시스템의 첨가 행렬을 가우스 행렬로 변환한 후 해를 구하는 방법인 가우스 소거법(Gaussian elimination)을 사용해 해를 구해보겠다. 가우스소거법을 활용해 위 선형 시스템의 해를 구해 보겠다. 1. 첨가 행렬을 구한다. 2. 2행에 1행을 더해 준다. 이는 2행 1열 원소를 0으로 만들기 위함이다. 3. 1행에 -3을 곱한 후 3행에 더해준다. 이는 3행 1열 원소를 0으로 만들기 위함이다. 4. 2행에 -1을 곱한다. 이는 2행 2열 원소를 1로 만들기 위함이다. 5. 2행에 10을 곱한 후 3행에 더해 준다. 이는 3행 2열 원소를 0으로 만들기 위함이다. 6. 3행을 -52로 나눈다. 이로써 가우스 행렬을 구했다. 행렬 구성 원소가 사다리꼴 형태인 것을 확인할 수 있다. ..

기본 행 연산법 1. 한 행에 영이 아닌 상수를 모두 곱한다. 2. 두 행을 교환한다. 3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. 위 첨가행렬을 통해 행 연산에 대해 알아보자. 1. 한 행에 0이 아닌 상수를 모두 곱한다. 2. 두 행을 교환한다. 3. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. 한 행의 배수를 다른 행에 더한다는 말의 의미는 첨가 행렬의 한 행에 배수를 구한 후 다른 행에 더하는 것을 의미한다. 예를 들어, 앞서 구한 첨가 행렬에서 2행에 -3을 곱한후 4행에 더하면 다음과 같다. 가우스 조르단 소거법 첨가 행렬의 1행 1열 구성 원소를 1로 변형시킨다. 그리고 1행 1열 아래에 위치하는 원소가 0이 되게끔 기본 행 연산을 수행한다. 이와 비슷한 방법으로 나머지 열도 수행한 결과, 다음과 같이 ..

상 삼각 행렬(upper triangular maxtrix)은 주 대각 원소 아래쪽에 있는 모든 원소가 0인 정사각 행렬을 의미한다. 하 삼각 행렬은 오른쪽 그림과 같다. - 삼각 행렬의 성질 1. 삼각 행렬 간 덧셈, 뺄셈, 행렬 곱의 결과는 삼각 행렬이다. 2. 상 삼각 행렬의 전치 행렬은 하 삼각 행렬이며, 하 삼각 행렬의 전치 행렬은 상 삼각 행렬이다. 3. 삼각 행렬의 역행렬 또한 삼각 행렬의 형태를 띤다. import numpy as np A=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) Al=np.tril(A) print(Al) ''' [[1 0 0] [4 5 0] [7 8 9]] ''' Au=np.triu(A) print(Au) ''' [[1 2 3] [0 5 6] [0 ..

대각 행렬(diagonal matrix)은 행렬의 주 대각 원소가 아닌 원소가 0인 정사각 행렬이다. 대각 행렬의 역행렬은 아래와 같이 주 대각 원소의 역수를 구함으로써 간단히 구할 수 있다. 대각 행령의 거듭 제곱은 다음과 같이 구할 수 있다. 대각 행렬의 성질 1. 어떤 행렬에 대각 행렬을 곱할 때, 대각 행렬을 오른쪽에 곱하는 경우 기존 행렬의 열 값이 대각 원소의 배수가 되며, 대각 행렬을 왼쪽에 곱하는 경우 기존 행렬의 행 값이 대각 원소의 배수가 된다. import numpy as np # 행렬의 대각 원소 A=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) D=np.diag(A) print(D) # [1 5 9] # 대각 행렬 (대각 원소 기반) print(np.diag(D)..

전치 행렬(transposed matrix)은 기존 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬이다. 전치 행렬의 예는 다음과 같다. 파이썬 코드 import numpy as np A=np.array([[1,5],[3,4],[6,2]]) At=np.transpose(A) print(At) 대칭 행렬(symmetric matrix)은 기존 행렬과 전치 행렬이 동일한 정사각 행렬을 의미한다. - 대칭 행렬의 성질 1. 대칭 행렬 두개 간의 덧셈이나 뺄셈의 결과 또한 대칭 행렬이다. 2. 행렬 A가 대칭 행렬 일 때 대칭 행렬 A의 거듭 제곱 형태 또한 대칭 행렬이다. 3. 어떤 행렬 A가 존재할 때, 자기 자신의 전치 행렬을 곱한 결과는 대칭 행렬이다.